Задача Коши в Mathcad

Задача Коши в Mathcad для дифференциальных уравнений n-го порядка с одной неизвестной (обыкновенное дифференциальное уравнение - ОДУ) формулируется следующим образом. Найти решение дифференциального уравнения

Задача Коши в Mathcad

в виде функции y=y(x), которая удовлетворяет заданным начальным условиям

Задача Коши в Mathcad

где  Задача Коши в Mathcad- заданные значение. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков можно свести к системе уравнений. Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка в Mathcad с использованием различных функций приведено на листинге.

Наибольшее распространение для решения задачи Коши в Mathcad получил метод Рунге – Кутта. Суть метода состоит в последовательном отыскании искомого значения функции yi+1 по формуле

Задача Коши в Mathcad

За h принимается достаточно малый шаг, с помощью которого весь интервал задачи Коши разбивается на дискретные точки, в которых и ищется решение. Погрешность результатов пропорциональна пятой степени шага (h5).

Геометрический смысл метода Рунге – Кутта состоит в следующем. Из очередной точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого tg()=f(xi,yi). На этом направлении вычисляется точка с координатами Задача Коши в Mathcad Затем из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого

tg()=fЗадача Коши в MathcadРешение задачи Коши

 На этом направлении вычисляется точка с координатами Решение задачи Коши  Далее из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого Решение задачи Коши

На этом направлении в Mathcad вычисляется точка с координатами Решение задачи Коши После чего из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого Решение задачи Коши . Все четыре полученных направления усредняются в соответствии с формулой для расчета  .  На этом результирующем направлении и строится расчетная точка с координатами

Решение задачи Коши

Метод Рунге – Кутта благодаря высокой точности широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и в частности в Mathcad. Существует несколько разновидностей данного метода, которые нашли свое отражение в рассмотренных выше функциях. На листинге можно не только сравнить результаты, полученные на основе различных функций, но и оценить эти результаты с позиций точности расчетов.

Путем сравнения результатов решения задачи, можно сделать вывод о точности решения задачи. Наиболее точный результат позволяет получить функция Rkadapt.